Sellel teemal on 6 vastust

[mustkass]

Tsau!
Käin 11 klassis ning sain matemaatikas koduse kontrolltöö, mida ma kahjuks üldse ei oska -.-

1) Aritmeetilise jada viimane liige on 31, eelviimase ja teise liikme summa on 34 ning liikmete arv võrdub esimese ja teise liikme korrutisega. Leia jada liikmete summa
2) Punkt liikus sirgjooneliselt esimese sekundiga 8m ja iga järgneva sekundiga 2 meetri võrra rohkem kui eelnevaga. Samaaegselt hakkas talle 140 meetri kauguselt vastu liikuma punkt kiirusega 16 m/s. mitme sekundi pärast need punktid kohtuvad?
3) Leia geomeetriline jada, mille summa on 243 ja esimese viie liikme summa 275
4) Leia neli arvu, mis moodustavad geomeetrilise jada, kui äärmiste arvude vahe on 19 ja keskmiste arvude vahe 6.
5) Neli arvu moodustavad geomeetrilise jada. Kui teise arvuga liita 4 ja kolmandaga 5, siis saadud neli arvu moodustavad aritmeetilise jada. Leia arvud, mis moodustavad aritmeetilise jada.
6) Hääbuva geomeetrilise jada esimese ja teise liikme vahe on 8, teise ja kolmanda liikme summa aga 12. Keua selle jada kolm liiget.
7) leia jada piirväärtus n->lõpmatus kui an=2n-ruutjuur(4n ruudus -3n-1)


Soovin, et keegi kasvõi natukene aitaks ;)
Ette tänades mustkass

[Estman]

oojohhaidi , mul ka jada praegu , muffigi aru ei saa :S

[reein15]

4) Leia neli arvu, mis moodustavad geomeetrilise jada, kui äärmiste arvude vahe on 19 ja keskmiste arvude vahe 6.


Kirja peaks panema mis antud on:
a4-a1=19
a3-a2=6

ehk siis geo jada järgi
a1q^3 - a1=19
a1q^2 - a1q=6

Edasi tood ühised liikmed sulgude ette mõlemast võrrandist
esimesel siis a1 ja teisel a1q
a1 (q^3 - 1)=19
a1g (q - 1)=6

siit edasi avad selle a1(q^3-1)=19 (avad q^3-1) valemi näol a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)

ehk a1(q-1)(q^2+q+1)=19

siis taandad saadud võrrandid:
ehk a1(q-1)(q^2+q+1)=19
a1g (q - 1)=6


a1 ning q-1 saad omavahel ära taandada tuleb
q^2-q+1=19
q=6

Edasi ristkorrutis nende vahel
6(q^2-q+1)=19q

6q^2-6q-6-19q=0
6q^2-13q+6=0
edasi ruutvõrrand
(-b +või- ruutjuur b^2-4ac)/2
ehk siis (13 +- ruutjuur 13^2-4*6*6)/2*6

q=(13+-5)12
q1=1,5
q2= 2/3



kontroll

q=1,5
võtad ette jälle selle tingimuse, et


a1 (q^3 - 1)=19 (ehk siis a4-a1=19) ja paned q võrduma 1,5-ega
a1(1,5^3-1)=19
a1(3,375-1)=19
2,375a1=19
a1=8
a2=a1q ehk siis a2=8*1,5=12
a3=a1q^2 = 18
a4=a1q^3 = 27

kontroll:
a4-a1=19 27-8=19
a3-a2=6 18-12=6

_______
q=2/3

a1(q^3-1)=19
a1(2/3^3-1)=19
-1/3 a1=19
a1=-19/3
a2= -38/9
a3= -76/27
a4= -152/81

-152/81 - (-19/3) ei võrdu 19 seega
seega q=2/3 ei sobi ning ülesande vastus on q=1,5 ning aritmeetilise jada 4 arvu on 8 ; 12 ; 18 ; 27

______________________________
vist peaks õige olema ;)

[mustkass]

Aitäh reein15

Proovisin täna neid ka lahendada, aga ei tulnud väga välja
Keegi oskab veel mõnega aidata ?

Estman, on 29 jaanuar 2013 - 20:13, said:

oojohhaidi , mul ka jada praegu , muffigi aru ei saa :S

Mina ei saa ka eriti midagi aru

[*Andre*]

mustkass, on 29 jaanuar 2013 - 20:11, said:

2) Punkt liikus sirgjooneliselt esimese sekundiga 8m ja iga järgneva sekundiga 2 meetri võrra rohkem kui eelnevaga. Samaaegselt hakkas talle 140 meetri kauguselt vastu liikuma punkt kiirusega 16 m/s. mitme sekundi pärast need punktid kohtuvad?

Kõige alustuseks võid selle ülesande vastuse peas välja mõelda või veidike kalkulaatoriga möllata. Seejärel saad hakata loogikat välja mõtlema. Põhimõtteliselt on meil 2 jada sekundis läbitavate distantsidega:
1. jada: 8m, 10m, 12m, ... (d = +2)
2. jada: 16m, 16m, 16m, ... (d = 0)

Nüüd on öeldud, et algne vahemaa on 140m. Ehk siis saad väikese võrrandi n-i (sekundite arvu) kohta, sest n sekundiga peavad mõlemad punktid läbima kokku 140m (mingi 8-9. klassi võrrand):
Sn(1) + Sn(2) = 140
1. punkti liigutud pikkus n sekundi jooksul + 2. punkti liigutud pikkus n sekundi jooksul = 140

Sn(1) = ((2a1 + (n-1)d)/2)*n (aritm. jada summa valem)
Sn(2) = n*16 (lihtsustatud kujul, sest d=0, midagi juurde ei liideta kui n kasvab)

Edasi lihtsustades jõuad ehk vahepeal millelegi selliseni:
(8+n-1)n + 16n = 140
ja lõpuks ruutvõrrand:
n^2 + 23n - 140 = 0
lahendad ära, saad lahendid
n1 = -28 (ei sobi, sekundid ei saa ju negatiivsed olla)
n2 = 5

Vastuseks jääbki 5 sekundit.

Pean tunnistama et hakkasin 1. ka pusima aga jõudsin ulmeliste avaldisteni. Ööd.

[reein15]

6) Hääbuva geomeetrilise jada esimese ja teise liikme vahe on 8, teise ja kolmanda liikme summa aga 12. Keua selle jada kolm liiget.

Antud on
a₁
a₂ = a₁q
a₃ = a₁q²
Teame, et a₁ – a₂ = 8
a₂ + a₃ = 12
Leida on vaja a₁, a₂, a₃.
Edasi viid saadud võrranditesse sisse asendused vms (a₂ = a₁q; a₃ = a₁q²) ja lahendad ära.

siia siis lahenduskäigu pilt kuna sealt kergem aru saada kui siia kirjutama hakata



Kontroll:
Jada on a1=16
a2=16 ^. 0,5 = 8
a3=8 ^. 0,5 = 4; ...
Esimese ja teise liikme vahe on 16 – 8 = 8 ning teise ja kolmanda liikme summa on 8 + 4 = 12. Vastab ülesande tingimustele.
Lahendiks sobib ainult esimene jada, sest see on lõpmatult kahanev ehk läheb kogu aeg väiksemaks. Teise jada puhul on tegemist vahelduvate märkidega jadaga.
Vastus: Otsitava jada kolm esimest liiget on 16; 8; 4.

[reein15]

1) Aritmeetilise jada viimane liige on 31, eelviimase ja teise liikme summa on 34 ning liikmete arv võrdub esimese ja teise liikme korrutisega. Leia jada liikmete summa



Antud:
An=31
a1*a2=n ehk a1*(a1+d)=n
(an-1)+a2=34 (arit jada puhul on sama mis) ehk an+a1=34

siit leiab kohe a1
kuna an+a1=34 ja an= 31 siis 31+a1=34 => a1=3


edasi arutad seda lahti a1*(a1+d)=n numbrid asemele

3*(3+d)=n
n=9+3d

ja hakkad otsima üldliiget an=a1+(n-1)*d ning n asendad n=9+3d

31=3+[(9+3d)-1]*d
31=3+9d+3d^ 2-d
31=3+3d^ 2+8d
3d^ 2+8d-28=0

Ruutvõrrand

d= -8 +- √ 64-4*3*(-28)
2*3

d= -8+- 20
6

d1=2
d2=-14/3 (ei sobi sest edasi arvutades tuleb, et n=-5 ja liikmete arv ei saa olla negatiivne)


d=2
31=3+(n-1)*2
31=3+2n-2
30=2n
n=15

edasi arit summa jada valem Sn=a1+an *n
2

sn=3+31 *15 =255
2

kontroll
a1*a2=n ehk a1*(a1+d)=n
3*(3+2)=15

vastus: Liikmete summa on 255

Muutis reein15, 04 veebruar 2013 - 13:44.